矩阵的类型以及性质

实矩阵

常见的几种实矩阵有: 实对称矩阵、实反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、对角矩阵、酉矩阵、正规矩阵

实对称矩阵

定义

若$A$为对称矩阵、则:
$$
\begin{aligned}
A = A^{T}
\end{aligned}
$$
这里左边为矩阵本身,右边为矩阵的转置

性质

对称矩阵必然有$n$个实特征向量,并两两正交

实反对称矩阵

定义

若$A$为对称矩阵,则:
$$
\begin{aligned}
A = -A^{T}
\end{aligned}
$$

厄米特矩阵

定义

若$A$为厄米特矩阵,则
$$
\begin{aligned}
A = A^H
\end{aligned}
$$
右边是矩阵的转置共轭矩阵

反厄米特矩阵

定义

若$A$为反厄米特矩阵,则
$$
\begin{aligned}
A = -A^H
\end{aligned}
$$

正交矩阵

定义

若$A$为正交矩阵,则
$$
\begin{aligned}
A * A^{T} = \lambda E
\end{aligned}
$$
这里右边为单位矩阵乘一个常数

对角矩阵

定义

若$A$为对角矩阵,则矩阵仅仅在对角线上对值非零

性质

对角矩阵一定是对称矩阵,对角矩阵的特征值即为对角线上的元素

酉矩阵

定义

若$A$为酉矩阵,则
$$
\begin{aligned}
AA^H = A^HA = E
\end{aligned}
$$

正规矩阵

定义

若$A$为正规矩阵,则
$$
\begin{aligned}
AA^H = A^HA
\end{aligned}
$$
实对称矩阵、实反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、对角矩阵、酉矩阵都是正规矩阵,但正规矩阵远不止这些

矩阵的相似

定义

若满足
$$
\begin{aligned}
A = B^{-1}CB
\end{aligned}
$$
则AC相似

性质

若两个矩阵相似,则他们的特征值相同


矩阵的类型以及性质
http://fightinggg.github.io/fluid/Q6AHJ2.html
作者
fightinggg
发布于
2020年2月26日
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