nexthexonextbutterflyvolantisyearnyiliashokaindigoapollolandscapecactusmateryicarusfluidmaterial Install Kafkastep 1. launch zookeeper in background12345docker run -d \-p 2181:2181 \--name zookeeper \-m 100M --memory-swap 100M --cpus 0.1 \zookeeper step 2. launch...

理论篇

决策单调性

对于一类一维$dp$,若有转移$dp[i]=min/max(dp[j]+w(i,j)) 0<j<i$，并假定$pri[i]$为到$dp[i]$的最优转移$j$，如果$pri[i]$关于$i$单调，那么我们称该$dp$具有决策单调性。

对于一类二维$dp$,如果有转移$dp[i][j]=min/max(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w(i,j)) i<=k<j $并假定$pro[i][j]$为到$dp[i][j]$的最优转移$k$,如果$pri[i][j]$关于$i$单调，且关于$j$单调，那么我们称该$dp$具有决策单调性。

四边形不等式

对于二元数论函数，$w(i,j)$，若满足$a\le b\le c\le d$恒有 $w(a,d)+w(b,c) \ge w(a,c)+w(b,d)$则该二元函数满足四边形不等式

他的充要条件是: 若$a\lt b$ 恒有$w(a,b)+w(a+1,b+1) \ge w(a,b+1)+w(a+1,b)$

可以理解为，交叉小于包含

区间包含单调性

对于二元数论函数，$i<j$的$w(i,j)$ 我们将参数看做区间，定义区间的包含为偏序关系， 若$w$的值关于该偏序关系单调，则称该函数具有区间包含单调性。

nexthexonextbutterflyvolantisyearnyiliashokaindigoapollolandscapecactusmateryicarusfluidmaterial 莫比乌斯反演狄利克雷卷积$$\begin{aligned}f(n)\circ g(n)&#x3D;\sum_{d|n} f(d)\cdot g(\frac{n}{d})\end{aligned}$$ 莫比乌斯函数$$f(n)&#x3D;\begin{cases}1 &amp;n&#x3D;1\(-1)^k...

前言

关于生成函数有很多概念模糊的地方，比如生成函数的乘法是怎么定义的，比如乘法可以换序吗？比如为什么可以把多项式变成对数函数？为什么又可以使用泰勒展开？

前置知识

代数系统，群论

环

环是一个具有两个二元运算的代数系统。环$\lt R,+,\circ\gt$满足

  • $\lt R,+\gt$构成交换群， 即$+$满足封闭性、结合律、单位元、逆元、交换律

  • $\lt R,\circ\gt$构成半群， 即$\cdot$满足封闭性、结合律、单位元

  • $\circ$对$+$有分配率，即$a\circ(b+c)=a\circ b+a\circ c$

nexthexonextbutterflyvolantisyearnyiliashokaindigoapollolandscapecactusmateryicarusfluidmaterial 比赛链接https://ac.nowcoder.com/acm/contest/16151?&amp;headNav=www D. Fake News题意输入一个数$n$，问你$\begin{aligned}\sum_{i&#x3D;1}^n i^2\end{aligned}$ 是不是一个完全平方数。 数据范围$10^6$组输入 $n\lt...

公式

$$
g(1)\sum_{i=1}^nf(i)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d) \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)
$$

使用

很多时候我们会碰到求积性函数前缀和的情况，由于积性函数的前缀和不一定依然是积性函数，所以我们需要使用一些技巧。

比如给你一个积性函数$f(x)$, 现在要求你计算$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n f(x)\end{aligned}$。