广义组合数
想必大家都知道的组合数在正整数上有： \[ C_{a}^{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!} \]
但很少有人知道这个公式在实数领域上也是成立的：
也就是说\(n!\)在实数上有定义
\(x!=\gamma(x+1)...\gamma(x)\)为伽马函数
下面问题转移到伽马函数上面了，但是在这里我们所用到的伽马函数的性质只有这一条
\(\gamma(x)=(x-1)\gamma(x-1)\)
为什么这样说呢，因为我们不需要计算\(x!\)，我们要算的是这个式子
\[ C_{a}^{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!}=\frac{\gamma (a+1)}{\gamma (b+1)\gamma(a-b+1)} \]
下面给出几个简单的我们来算一下 \[ C_{4.5}^{3} =\frac{4.5!}{3!*1.5!} =\frac{\gamma (5.5)}{3!\gamma (2.5)} =\frac{1}{3!}\frac{\gamma (5.5)}{\gamma(2.5)} =\frac{1}{3!}*4.5*3.5*2.5 \]
\[ C_{3}^{4} =\frac{3!}{4!(-1)!} \]
为什么我不继续化简了呢？
如果你是一个思维严谨的读者，当你看到了我放入的伽马函数图像的时候，你就应该对我的博客提出质疑，
我曾经说n!在整个实数领域有意义，又说\(x!=\gamma(x+1)\) ,然而我给出的伽马函数的定义域明显不包含负整数和0，
我一定有一个地方错了。
对的，负数没有阶乘！
我重新给出定义域： \[ C_{a}^{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!} \] \(x!\)有意义当且仅当\(x\geq 0||-x\notin Z\)
不管读者如何想，至少我自己认为，如果给要给负数定义一个阶乘的值，依据伽马函数在对应的点的极限为∞，
那么负数的阶乘应该是∞，代入刚刚的式子并化简有 \[ C_{3}^{4} =\frac{3!}{4!(-1)!}=\frac{1}{4}*\frac{1}{infinity}=0 \]
我又写了一个不严谨的证明。。。。。。如果读者有兴趣，自己试着证明一下吧，至少我好像证出来了。
然后继续下一题 \[ C_{-1}^{3}=\frac{(-1)!}{3!*(-4)!} \]
\[ C_{-1}^{-4}=\frac{(-1)!}{(-4)!*3!} \]
哈哈哈哈你说怎么办呢？？？？？
除非无穷大有大小关系，否则这里无法解释，，，，此路不通
数学总是这样，如果我非得让这个式子可以运算，将对很多其他数学定理有很大的影响，而不是那些数学家们不愿意在数学界给出新的运算。给出新的运算就得付出代价。
数学界用这样一种方法来回避这样的问题，重新定义组合数，而不是引入新的运算。
重新定义广义组合数的值 \[ C_{x}^{n}=\frac{\prod _{i=x-n+1}^{x}i}{n!}(x\in R,n\in Z^{*}) \]
如此我们把题目都重新做一遍 \[ C_{4.5}^{3}=\frac{\prod _{i=4.5-3+1}^{4.5}i}{3!}=\frac{\prod _{I=2.5}^{4.5}i}{3!}=\frac{2.5*3.5*4.5}{1*2*3} \]
\[ C_{3}^{4}=\frac{\prod _{i=3-4+1}^{3}i}{4!}=\frac{\prod _{i=0}^{3}i}{4!}=\frac{0*1*2*3}{1*2*3*4}=0 \]
\[ C_{-1}^{3}=\frac{\prod _{i=-1-3+1}^{-1}i}{3!}=\frac{\prod _{i=-3}^{-1}i}{3!}=\frac{(-3)*(-2)*(-1)}{1*2*3} \]
.......
差不多了
over