math
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这篇博客用于记录数学库的实现，
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先介绍我们的数学函数库 math_function
这里记录了很多数学函数，
math_function代码
重大问题
这些算法的复杂度感觉都是$lgc$级别的,应该是可以通过倍增来达到$lg(lgc)$的复杂度，我下次再仔细思考思考。
介绍我们的牛顿迭代法求$\sqrt{c}$
$$
\begin{aligned}
&x^2=c\
&f(x) = x^2-c\
&f’(x) = 2x \
&g(x) = x-\frac{f(x)}{f’(x)} = x-\frac{x^2-c}{2x} =\frac{x^2+c}{2x}
\end{aligned}
$$
按照$x_i=g(x_{i-1})$进行迭代即可求出结果。
更新: 我下次找个机会用下面求$e^c$的方法实现一下先让c变小，看看能不能加速。
介绍我们的泰勒展开求$e^c$
首先根据公式$e^{-t}=\frac{1}{e^t}$，可以递归为c恒非负
然后根据公式$e^t=(e^\frac{t}{2})^2$, 可以递归为c在范围$[0,0.001]$上
最后使用泰勒展开，$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+…$，这里我们取前10项就能够达到很高的精度了。
为什么要用第二步将c保证在范围$[0,0.001]$上？ 因为如果c过大，我们的第三部需要展开更多的项才够，这在c达到10000这种，你至少要展开10000项，这不现实。
介绍我们的牛顿迭代法求$ln(c)$
$$
\begin{aligned}
&e^x=c
\&f(x)=e^x-c
\&f’(x) = e^x
\&g(x)=x-\frac{f(x)}{f’(x)} = x-1+\frac{c}{e^x}
\end{aligned}
$$
还是一样的，为了减少迭代次数，我们先对c进行变小，根据公式$ln(x)=ln(\frac{x}{e})+1$,我们可以保证c的值在e附近，
最后使用迭代，$x_i=g(x_{i-1})$,
更新： 我刚刚突然想到如果第二步使用泰勒展开而不是牛顿迭代，可能会快很多，考虑到这一点，我们有时间去实现一下泰勒展开求对数函数。