LDA
算法输入与目的
有很多有标签的高纬数据,他们的格式为列向量：
$$
x = [x_1,x_2,x_3…]^T
$$
我们想要找到一个高纬空间到一维空间的映射,其中$w$是一个列向量
$$
y=w^T x
$$
使得我们在这个新的维度上，能够完成分类，类内紧凑，类间松散
模型建立
假设映射后类别i的数据集合为：
$$
Y_i = {y_1,y_2,y_3…}
$$
分别根据求映射后数据集合的期望
$$
\tilde{m_i}=\frac{1}{n_i}\sum_{y\in Y_i}y
$$
和方差
$$
\tilde{S_i}^2 = \sum_{y \in Y_i}(y-\tilde{m_i})^2
$$
模型建立,把类中心点间的方差作为分子，把类内方差和作为分母，我们的目标就是最大化整个分式
$$
\tilde{m}=\frac{1}{n}\sum n_i*\tilde{m_i}
\\max\quad J(w)=\frac{ \sum n_i(\tilde{m_i}-\tilde{m})^2}{\sum{\tilde{s_i}^2}}
$$
变形
假设映射前类别i的数据集合为：
$$
D_i = {x_1,x_2,x_3…}
$$
为了能够同时描述类内距离和类间距离，我们需要对映射后的各类集合求期望和方差
令
$$
m_i=\frac{1}{n_i}\sum_{x\in D_i}x
$$
则映射后的期望为
$$
\tilde{m_i}=\frac{1}{n_i}\sum_{y\in Y_i}y=\frac{1}{n_i}\sum_{x\in D_i}w^Tx=w^T\frac{1}{n_i}\sum_{x\in D_i}x=w^Tm_i
$$
令
$$
S_i = \sum_{x \in D_i}(x-m_i)(x-m_i)^T
$$
则映射后的方差
$$
\begin{aligned}
\tilde{S_i}^2&= \sum_{y \in Y_i}(y-\tilde{m_i})^2
\&= \sum_{x \in D_i}(w^Tx-w^Tm_i)^2
\&=\sum_{x \in D_i}(w^T(x-m_i))(w^T(x-m_i))
\&=\sum_{x \in D_i}(w^T(x-m_i))((x-m_i)^Tw)
\&=w^TS_iw
\end{aligned}
$$
模型
$$
\tilde{m}=\frac{1}{n}\sum n_i\tilde{m_i}=w^T\frac{1}{n}\sum n_im_i=w^Tm
$$
模型的分子
$$
\begin{aligned}
\&\sum n_i(\tilde{m_i}-\tilde{m})^2
\=&\sum n_i(w^Tm_i-w^Tm)^2
\=&w^T(\sum n_i(m_i-m)(m_i-m)^T) w
\end{aligned}
$$
模型总结
$$
\begin{aligned}
&S_B=\sum n_i(m_i-m)(m_i-m)^T
\&S_W=\sum S_i
\&\max\quad J(w)=\frac{ w^TS_Bw}{w^TS_ww}
\end{aligned}
$$
拉格朗日乘子法求极值
J(w)的值与w的长度无关，只和w的方向有关，我们不妨固定分子为1，则变为了
$$
\max\quad J_2(w)=w^TS_Bw\quad,\quad w^TS_ww=1
$$
构建拉格朗日函数,并使用标量对列向量求导法则,求偏导
$$
L(w,\lambda) = w^TS_Bw+\lambda(1-w^TS_ww)
$$
一个求导法则:($x$是列向量，$A$是方阵)
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial x^TAx}{\partial x} = (A^T+A)x
\end{aligned}
$$
开始求导
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial L}{\partial w}=(S_B+S_B^T)w-\lambda(S_w+S_w^T)w=0
\end{aligned}
$$
其中S_B和S_w是对称矩阵
$$
\begin{aligned}
&2S_Bw-2\lambda S_ww=0
\\to&S_Bw=\lambda S_ww
\\to&(S_w^{-1}S_B)w=\lambda w
\end{aligned}
$$
因此$w$取矩阵$S_w^{-1}S_B$的特征向量即可