矩阵的类型以及性质

发表于 2020-02-26 分类于 Math ， Matrix 阅读次数：本文字数： 858 阅读时长 ≈ 1 分钟

常见的几种实矩阵有: 实对称矩阵、实反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、对角矩阵、酉矩阵、正规矩阵

若\(A\)为对称矩阵、则： \[ \begin{aligned} A = A^{T} \end{aligned} \] 这里左边为矩阵本身，右边为矩阵的转置 #### 性质对称矩阵必然有\(n\)个实特征向量，并两两正交

若\(A\)为对称矩阵,则： \[ \begin{aligned} A = -A^{T} \end{aligned} \]

若\(A\)为厄米特矩阵，则 \[ \begin{aligned} A = A^H \end{aligned} \] 右边是矩阵的转置共轭矩阵

若\(A\)为反厄米特矩阵，则 \[ \begin{aligned} A = -A^H \end{aligned} \]

若\(A\)为正交矩阵,则 \[ \begin{aligned} A * A^{T} = \lambda E \end{aligned} \] 这里右边为单位矩阵乘一个常数

若\(A\)为对角矩阵，则矩阵仅仅在对角线上对值非零 #### 性质对角矩阵一定是对称矩阵，对角矩阵的特征值即为对角线上的元素

若\(A\)为酉矩阵，则 \[ \begin{aligned} AA^H = A^HA = E \end{aligned} \]

若\(A\)为正规矩阵，则 \[ \begin{aligned} AA^H = A^HA \end{aligned} \] 实对称矩阵、实反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、对角矩阵、酉矩阵都是正规矩阵，但正规矩阵远不止这些

若满足 \[ \begin{aligned} A = B^{-1}CB \end{aligned} \] 则AC相似 #### 性质若两个矩阵相似，则他们的特征值相同